sympy学习笔记

计算机代数学的入门之课。

数字、符号、表达式

开启新世界的大门：导入包并且创建符号x、y、t，写出摆线公式，并且求出当$t=\frac{\pi}{2}$时参数方程对应的点坐标。

from sympy import *

t = symbols('t')

x = sin(t)
y = cos(t)

print(f'({x.subs(t, pi/2)}, {y.subs(t, pi/2)})')

输出

(1, 0)

符号

创建符号有两种方法：构造Symbol类、调用symbols()函数，对于x y z以及希腊符号，还可以直接使用abc里现成的符号。

在下面的代码中，我们从sympy.abc里引入了alpha，创建了x和y两个符号，最后单独创建了符号t

from sympy import *
from sympy.abc import alpha
x, y = symbols('x, y')
t = Symbol('t')

当然了，还可以创建多字母的符号，就想内置的alpha那样。

from sympy import *
combo = Symbol('combo')
good, perfect = symbols('good, perfect')

其他

sympy.abc下有_clash1和_clash2，分别包含了明明冲突的单字母和多字母符号。

表达式

符号的数学运算、函数传参就可以构造出表达式。简单。无需多言。

代入

对表达式或符号调用.subs(符号，值)即可。支持链式调用，比如：

from sympy import *

x, y = symbols('x, y')
z = x**2 + y**2

print(z.subs(x, 2).subs(y, 2))

输出

8

也可以代入符号：

from sympy import *

x, y = symbols('x, y')
z = x**2 + y**2

t = Symbol('t')

print(z.subs(x, t).subs(y, t))

输出

2*t**2

也就是$2t^2$

求导与积分

求导：

from sympy import *

x, y = symbols('x, y')
z = x**2 + y**2
t = x**2 + sin(y) + x * y
expr=exp(-x**2 - y**2)

# 求导
print(diff(t, y))
print(diff(z, x, x))
print(diff(expr, x, x))
print()

# 积分
print(integrate(z, x))
print(integrate(expr, (x, 0, oo), (y, 0, oo)))

输出

x + cos(y)
2
2(2\x**2 - 1)exp(-x\*2 - y**2)

x**3/3 + x*y**2
pi/4

这是表达式：

$$z = x^2 + y^2 \\ t = x^2 + sin(y) + x y \\ expr = e^{-x^2 - y^2} \\$$

调用diff(f, *symbols, [...])可以按顺序对若干符号求若干阶导。

调用integrate(f, *符号或限制元组)，可以求不定积分或定积分。限制元组的基本格式是(符号，下界，上界)

其他

可以使用 Integral 对象创建未评估的积分，可以通过调用 doit() 方法对其进行评估。以经典的不可积函数为例：

from sympy import *
from sympy.abc import x

y = Integral('exp(-x**2)', x)

print(y.doit())

输出

sqrt(pi)*erf(x)/2

输出结果含有常数项以及误差函数erf()，表明这个函数是个收敛的不可积函数。

doit()的具体细节没有去了解，我暂认为doit()与intergal()等价。

矩阵

learning…

其他

并非不重要。

简化

例如$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$

from sympy import *
from sympy.abc import x

y = sin(x)**2 + cos(x)**2

print(y)
print(simplify(y))

输出

sin(x)2 + cos(x)2
1

展开

expand(f)，用于将所有因式展开为多项式表达式

因式

factor(f)，该函数将多项式化为因式相乘的形式。

整理

collect(f, single_symbol)，将多项式转化为同次幂与其他因式相乘的多项式（胡言乱语中），按符号的降幂排列。例如：

$$x^3+x^2z+2x^2+xy+x-3$$

对x、y、z分别调用collect()，结果如下

from sympy import *
from sympy.abc import x, y, z

expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3

print(collect(expr, x))
print(collect(expr, y))
print(collect(expr, z))

输出

x**3 + x**2*(2 - z) + x*(y + 1) - 3
x**3 - x**2*z + 2*x**2 + x*y + x - 3
x**3 - x**2*z + 2*x**2 + x*y + x - 3

也就是

$$x^3 + x^2(2 - z) + x(y + 1) - 3 \\ x^3 - x^2z + 2x^2 + xy + x - 3 \\ x^3 - x^2z + 2x^2 + xy + x - 3 \\$$

其他

未列全的项目有：

• 化简

请参阅官方文档。