matlab学习

发现老师的课程需要连续听下来，并且非常适应写博客的笔记咩。

我们把matlab知识点放在后面，把数学思想放在前面。

状态方程以及解法

$$\begin {cases} x=A(t)x+B(t)u \\ y=C(t)x+D(t)u \end {cases}$$

欧拉法

略

龙格库塔算法

龙格-库塔算法哟用来求非线性常微分方程的解，是一种隐式或显式迭代法。
相比于欧拉法总是带有误差，龙格-库塔算法的误差相对较小，而且可以实现通过提高阶数更高精度的拟合。
昆图库塔算法
计划用Manim做个可视化出来。

Details

首先，对于一个任意的关于$x$、$\frac{dx}{dt}$和时间$t$的方程

$$\begin {equation} \dot{x}=f(t,x) \\ x(t_0)=x_0 \end {equation}$$

对于该问题的四阶龙格库塔RK4迭代方程由如下方程给出：

$$x_{n+1}=x_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$

其中

$$\begin {cases} k_1 = f(t_n, x_n) \\ k_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, x_n + \frac{h}{2}k_1) \\ k_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, x_n + \frac{h}{2}k_2) \\ k_4 = f(t_n + h, x_n + hk_3) \end {cases}$$

$k_i(i=1,2,3,4)$是斜率。

• $k_1$是$t_n$开始时的斜率
• $K_2$是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率$k_1$来决定$x$在点$t_n+\frac{h}{2}$的值
• $k_3$同理，不过用的是$k_2$
• $k_4$是时间段终点$t_n+h$的斜率，用$k_3$确定它的值
  $h$是时间间隔，也就是步长。

我们干了什么？

在求$k_i(i=1,2,3,4)$时，我们通过不同的步长，求出了四个斜率。
通过这四个斜率，对其进行加权平均，即$\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}$，然后再乘以$h$，就得到了预测的下一个值$x_{n+1}$

效果怎样？

这个算法对四个斜率的加权平均然后预测下一个点的位置，它带来的误差将比欧拉法更好（欧拉法需要选取更小的步长以抑制误差问题），个人认为龙格库塔法是欧拉法的升级版。

不过，龙格库塔算法仍然存在一定的误差。实际上，上面讲的是四阶的龙格库塔。如果想要更好的拟合，可以选择更高阶的龙格库塔，不过四阶的精度已经不错了，再高阶的龙格库塔会导致计算量偏大。

使用场景

可以用于计算系统的稳态和暂态。
计算量大，烧钱，适用于不缺钱的项目

ode函数

当变化比较剧烈时用小步长计算，比较稳定时换用比较大的步长计算。
这将引出matlab中的ode45。它提供了变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。

matlab知识

dsolve

解微分方程用dsolve()，数值方程用solve()。
注意里面的等号要用==。

ode函数

咕咕咕

global

类似于python.

pause()

相当于delay_ms()
如果不加参数，就相当于按任意键继续运行。

@

“取函数地址符”
虽然matlab里没有指针

heaviside()

单位阶跃函数（Heaviside step function）

ezplot(function, [start, end])

画图

syms t
ezplot(heaviside(t), [-1, 1])

sign()

符号函数，

Dirac()

冲激函数（Pluse Function），狄拉克函数